1e) The bank is a private bank, not state-owned. Ngân hàng này là một ngân hàng tư nhân, không phải của nhà nước.
1v) Nhà ngân hàng này là riêng, không phải của nhà nước.

private house: nhà riêng, private bank: ngân hàng tư nhân, private company: công ty riêng/ tư nhân  (See 3e)
2e) French National Library has a lot of books and materials about the countries of Indochina. Thư viện quốc gia Pháp có nhiều quyển sách và tài liệu về các nước Đông Dương.
2v) Thư Viện Quốc gia Pháp có nhiều cuổn sách và tài liệu về nước trong Đông Dương.

Spelling: "cuốn" , "quyển sách" is more formal, "các nước Đông Dương" is sufficient
3e) He quit his job at a government agency to establish his own company. Anh ấy nghỉ(/ thôi) việc ở một cơ quan nhà nước để thành lập công ty tư nhân/ công ty riêng.
3v) Anh ấy xin thôi việc được trong cục nhà nước để thành lập tư công ty.

" xin thôi việc" means that he asked for permission to quit his job, "được" is redundant, "cơ quan nhà nước" sounds better than "cục nhà nước" - don't use "cục" for agency, it sounds old-fashioned.

4e) Who is the Chairperson of State in Vietnam now? Ai hiện đang là Chủ Tịch nước Việt Nam?/ Chủ tịch nước Việt Nam hiện đang là ai?
4v) Ngày này Chủ tịch Việt Nam là ai?

people understand if you use "ngày nay" (meaning nowadays). Better: hiện/ hiện tại/ bây giờ
5e) Hanoi National University is composed of five member universities. Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội bao gồm năm đại học thành viên.
5v) Trường Đại Học Quốc Gia chiếm năm đại học.

"chiếm" has the meaning to take control of, I would use "bao gồm" or "gồm có" for to be composed of/ to consist of.

6e) Since Vietnam shifted to the market economy, state-owned companies have had to compete with private companies
6v) ??? Từ khi Việt Nam chuyển sang nền kinh tế thị trường, các công ty nhà nước phải cạnh tranh với các công ty tư nhân.
7e) The eight most industrially-developed nations have just finished a conference in Geneva.Tám quốc gia phát triển nhất vừa mới hoàn thành một cuộc hội thảo tại Geneva.
7v) tổng tám nước phát triển nhất mới xong hội thảo ở thành phố Geneva.

"quốc gia" is just a fancy word for countries/ nations ("nước" is fine though), similarly "hoàn thành" is fancier than "xong", "tổng" does not fit here, "ở thành phố Geneva" is fine
8e) The building of Hanoi National Library is one of the most beautiful buildings in the French quarter.Tòa nhà của Thư Viện Quốc Gia Hà Nội là một trong những tòa nhà đẹp nhất trong khu phố Pháp.
8v) Thư Viện Quốc Gia Hà Nội là mỗi toà nhà đẹp nhất trong miền Pháp.

"mỗi" does not fit here

Hope that helps :)