Las dos son sinónimos, logran el mismo propósito, estos son ejemplos que tal vez puedan orientarte. José logró el reconocimiento a través de sus investigaciones. El Director difundió la noticia por medio de una circular. La experiencia se obtiene a través de los años. Disminuye tus gastos por medio del ahorro. Espero te sirva, Saludos!

They are synonyms, most of the time they are interchangeable. There are exceptions but not with a rule, probably practicing and making mistakes is the best way to learn them :) Best regards, Alejo. REF.: I'm a Spanish Teacher

"A TRAVÉS DE" expresa, como uso principal, una acción que se realiza de un lado a otro de una cosa. "Cruzamos el río a través de ese puente". "POR MEDIO DE" es sinónimo de "mediante", "por mediación de" como significado principal. "Me entero de lo que le pasa a mi amigo por medio de su hija". Pero también podría ser sinónimo de "a través de" en el sentido de "por conducto de". "Me entero de las noticias por medio de (a través de) la prensa"

Gracias por su ayuda.