"Я верю ему...он говорит правду" and "Я верю в него...он сможет выиграть соревнование". The meaning is different.

Оба варианта правильные, но имеют разное значение "Я верю ему" = я доверяю ему. Считаю что он говорит правду, считаю что он действует честно и так далее. "Я верю в него" - обычно используется как выражение поддержки. Верю что он добьется своей цели, верю что он преодолеет трудности, верю что он сильный человек и тому подобнее, даже если сейчас для этого нет рациональных причин. Это "вера" т.е. внутренняя убежденность. В комментарии правильно написали trust / believe

Я верю ему - I trust him, я верю в него - I believe in him

"Веру" то же, что и "вера" (существительное), но в другом падеже. А, как я понял, тут речь идёт о глаголе "верить". Глаголу (чаще всего) нужно спряжение в предложении. В этом случае глагол "верить" получит спряжение и вместе с местоимением "я" станет "я верю". А остальное уже не имеет значения — можно использовать и "ему", и "в него".

Я верю ему . Я верю в него.