Buongiorno Salvador!
"dare fastidio" e "disturbare" possono essere utilizzati come sinonimi. Utilizzo il tuo esempio: puoi dire sia "mi da fastidio che la gente dica...", sia "mi disturba che la gente dica...". Per quanto riguarda il verbo "molestare" invece è un termine molto più forte con significato di arrecare un danno grave con atti, parole e comportamenti molto sgradevoli e non etici. Il caso più grave di molestia è quella sessuale, l'abuso sessuale.