Si, puedes utilizar " en nada " pero siempre necesitas completarlo con alguna otra palabra en tu ejemplo Nos vemos en nada de tiempo - ¿ Cuánto se tardó en acabarlo ? - lo hizo en nada de tiempo Y el uso de " hace nada " está bien

Yo como hablante nativo usaría "no hace mucho",

Hola, en Latinoamérica no recuerdo que se utilice, más bien utilizamos para el primer caso "ya mismo", es decir "nos vemos ya mismo" o "ya mismo nos vemos" o también "ahorita nos vemos". Para el segundo caso, es más usado "hace poco tiempo" es decir "Empecé mi trabajo hace poco tiempo" o "Me mudé a Nueva York hace poco tiempo", podrías también decir sólo "hace poco". De todas formas, si se entiende el decir "hace nada", es decir si lo puedes utilizar claro, pero es poco frecuente en Latinoamérica.

Si quieres usar una palabra parecida a "soon" en este ejemplo, la palabra más sencilla y parecida en inglés sería "pronto" para el primer ejemplo: Nos vemos pronto. Y en el segundo y tercer ejemplo usaría "poco": Empecé mi nuevo trabajo hace poco. Me mude a New York hace poco.

No no para nada