Hi there!
Although there's no much difference, "заканчиваться" is used mostly when describing some process, and "кончаться" is more about quantity. Some examples:
Заканчиваться:
The movie is going to end in five minutes.
Фильм заканчивается через пять минут.
The lecture is over, at last.
Лекция закончилась, наконец.
Кончаться:
I'm running out of money.
У меня кончаются деньги.
Oh no, we're out of coffee!
О нет, у нас кончился кофе!
And so on... But as already mentioned by the others, both those verbs are pretty similar and can be interchanged.