느끼다 vs. 느껴지다 ; 느끼다 is to feel, no such nuance in it. 느껴지다 is "to get to feel." I don't know how to explain, but this explanation seems to be fair to me.
안 할 거예요 vs. 안 할게요 ; these are actually same sentences, one is shortened, the other isn't, that's all. Very slight nuance difference exists between them, but I personally think that there is too little difference to clearly explain.
시작했다 vs. 시작되었다 ; 시작했다 is to begin, 시작되었다 is to be started. As you see, 시작되었다 has a passive meaning in it.
모자라다 vs. 부족하다 ; here is more explanation.
'모자라다'와 '부족하다'는 모두 무언가가 충분하지 않음을 나타내는 단어입니다. 하지만 다음과 같은 차이가 있습니다.
1. '모자라다'는 동사이고 '부족하다'는 형용사입니다.
■ 모자라는 것이 있으면...
■ 부족한 것이 있으면...
2. '부족하다'는 충분하지 못한 상태가 지속적으로 유지되는 경우에 사용합니다. 반면에 '모자라다'는 어떤 변화의 결과가 일정 수준에 이르지 못한 경우에 사용합니다.
■ 우주에서는 산소가 부족해요. (Sounds more natural)
■ 우주에서는 산소가 모자라요.
3. '부족하다'는 무언가가 결여되어 있는 경우에도 사용할 수 있지만 '모자라다'는 무언가가 존재하기는 하나 충분치 못할 경우에 사용합니다.
■ 저는 형에 비해 키가 약간 모자라요.
■ 저는 형에 비해 키가 약간 부족해요. (Sounds unnatural)
4. '모자라다'는 지능이 부족하거나 요령이 없음을 나타낼 때에 사용할 수도 있습니다.
■ 저 모자란 놈!