Alcançar, literalmente, é conseguir pegar alguma coisa com as mãos. Então quando algo está muito alto e não consigo pegar, digo que não alcanço. No sentido figurado, quando alguém alcança um sonho, por exemplo, quer dizer que a pessoa conseguiu realizar esse sonho.
Quanto a atingir, literalmente, significa acertar em algum ponto, ou bater. Ou seja, alguém que sofreu uma batida de um carro, podemos falar que foi atingido por um carro. No sentido figurado, atingir se aplica a metas. Um funcionário precisa atingir metas no trabalho, vendendo um número x de produtos, por exemplo.