I'd like to point out that "Não faço questão" shouldn't be considered "I don't care". "I don't care" sounds kind of rude in English, and a direct Portuguese translation would be "Não me interessa", which sounds almost equally rude. Of course it depends on the context. A better translation for "Não faço questão" would be "I don't mind", or "I don't really mind either way". Alda Maria's example is really good: "Eu ia hoje ao cinema, mas tive um imprevisto e já não pude ir. Não tem problema porque não fazia questão de ver aquele filme". An english translation would be "I was going to the movies today, but something happened and I couldn't go. It's ok because I don't really mind not watching that movie."... see, it doesn't mean "I don't care to watch that movie", it means that he/she wouldn't have minded either way.

"Fazer questão de" é uma expressão idiomática que significa "considerar muito importante ou indispensável". Quando não fazes questão de algo é porque não consideras isso muito importante. Por exemplo: Eu ia hoje ao cinema, mas tive um imprevisto e já não pude ir. Não tem problema porque não fazia questão de ver aquele filme. (Isto é, até gostava de ir, mas não era muito importante.)

Usamos para falar de algo que não nos interessa. Exemplos: Não faço questão de muitos amigos. Prefiro ter poucos amigos, mas verdadeiros. Não faço questão de comer salada. Prefiro comer macarrão. Eu estava falando com ela, e ela não fez a mínima questão de me ouvir. Fiz uma pergunta no Italki e ninguém fez questão de responder. Mas você também pode usar no afirmativo: Eu fiquei tão feliz com o presente que ganhei que fiz questão de agradecer pessoalmente. Minha vó fez um bolo ontem quando fui na casa dela. Eu não estava com fome, mas fiz questão de provar um pedaço. Eu não precisava de ajuda, mas ele fez questão de levar as malas até o carro. Eu tenho usado esse dicionário para me ajudar com expressões: http://www.linguee.com.br/portugues-italiano/search?source=auto>query=não+fez+questão Espero ter ajudado :)

Comparando com o inglês, significa basicamente "I don't care" ou "It doesn't matter".

It means you don't care about it. Significa que você não se importa, que "não está nem aí". ;)