If we hear -는데, we expect something unexpected situation 시간 있어서 도와줬어. (natural) 시간 있는데 도와줬어.(awkward) 시간 없는데 도와줬어.(natural) -는데 used for describing beforehand about a situation which is related with the next clause in order to explain, ask, suggest something. It can be used for attracting attention or giving suspense. e.g. 내가 텔레비전을 보고 있는데 전화벨이 울렸다. 그 애는 노래는 잘 부르는데 춤은 잘 못 춰. 눈이 오는데 차를 몰고 나가도 될까? The difference between '으니까' and '아/어서' 1) is used for the reason of subject. And '아/어서' is used for the general reason. Thus '으니까' can be used with '으세요'(order) or '읍시다'(suggestion). But '-아/어서' cannot be used with order or suggestion. e.g. 날씨가 더우니까 창문을 열었어요(O) (The weather is hot for the speaker) 날씨가 더워서 창문을 열었어요(O) (The weather is hot for everybody) 날씨가 더우니까 창문을 엽시다. 날씨가 더우니까 창문을 여세요. (O) 날씨가 더워서 창문을 엽시다. 날씨가 더워서 창문을 여세요. (X) 2) '으니까' can be used with past tense but '아/어서' cannot be used with past tense. e.g. 이 일은 내가 했으니까 너는 다른 일을 해라.(O) 이 일은 내가 했어서 너는 다른 일을 해라.(X) - 그책을 읽어보니 좋아요. (The book makes the speaker feed good) - 그책을 읽어서 좋아요. (The book makes feel good for everybody who read that book) - 그 사람이 서울에 가니 불러보세요. - 그 사람이 서울에 가서 불러보세요.(X) (order cannot be used with '아/어서') - 바다를 보니 기분이 좋군요. (I feel good after seeing the sea) - 바다를 봐서 기분이 좋군요. (You/He/She/They feel good after seeing the sea)

-는데 and 아/어서 both give a reason or background for some situation, but their usage is quite different. * -아/어서 - indicates one thing is the obvious and immediate reason for the other (positive logic), like "because". The connection is very tight, so it can't be used in imperative sentences. - 비가 와서 못 갔어 / 비가 와서 못 가겠어 / 비가 와서 못 갈 거야. GOOD - 비가 와서 우산 가지고 가세요 (BAD - imperative sentence) => 비가 오니까 [or 오는데] 우산 가지고 가세요. * -는데 - indicates a background reason with an element of conflict (mildly negative logic), like "when", "but", "yet", etc. It occupies the middle ground between the tight cause-and-effect logic of -아/어서 (because) and the squarely contradictory -지만(but). - 비가 오는데 왜 우산 안 가지고 가세요? (The rain and the person leaving without an umbrella creates a conflict) - 시간이 없는데 택시가 안 보인다. "I'm pressed for time, and I can't find a taxi to boot". In some imprative sentences, -는데 might appear to create a simple cause-and-effect relation: - 비 오는데 우산 가지고 가세요 = It's raining, so take an umbrella with you. But this is an example of a further evolved form of -는데, with an implication of an elided phrase. It is like 비 오는데 (그냥 가지 말고) 우산 가지고 가세요, with -는데 opposing the rain and the imagined action of leaving without an umbrella (그냥 가지 말고). It certainly feels more nuanced than simple sentences like 비 오니까 우산 가지고 가세요. In short, -는데 almost never represents smooth positive logic. So, in your examples, - 시간 있어서 도와줬어 = GOOD. - 시간 있는데 도와줬어 = poor construction unlikely to be said (except in a very subtle way as explained above). 시간 없는데(도) 도와 줬어 (meaning 시간이 없는데도 일부러 시간을 들여 도와 줬어) would be how we normally say it ('도' adds to the contradiction, like "even"). (But in reality, many such phrases tend to expand in meaning and usage, so 시간 있는데 도와줬어 is probably heard too.)

I've always thought about ~어서 as "~, so" since the sound I'd similar anyway.