Escalader, ça s'utilise surtout pour parler de falaises ou de choses vraiment imposantes comme une montagne. Ça peut aussi vouloir dire "passer par dessus" comme dans la phrase "j'escalade un muret". Monter, c'est la simple action d'aller vers le haut donc tu peux l'utiliser pour dire "monter dans un classement" ou bien "monter un escalier" ou bien même au niveau géographique, si tu vas du Sud vers le Nord pour aller tes grands-parents, tu peux dire "Je suis monté aller voir mes grands-parents". Ça peut aussi désigner le fait d'être au dessus de quelque chose dans certains cas comme "monter un cheval". Grimper, c'est un peu moins fort que escalader. C'est un peu comme monter sauf que tu ne peux pas l'utiliser pour quand tu montes un cheval. Le dictionnaire dit "monter en s'aidant de ses mains et ses pieds" et c'est une définition parfaite.

"Monter" est le terme neutre, le plus général des trois. On monte un escalier, on monte une montagne, on monte dans une voiture, etc. "Escalader" représente un effort soutenu pour arriver au sommet (d'une montagne, par exemple). On escalade une montagne, on escalade une clôture, on escalade une tour. etc. "Grimper" est plus spécifique que "monter", mais beaucoup moins qu'"escalader".On grimpe un escalier, on grimpe les étages d'un immeuble. "Grimper" s'emploie souvent avec une préposition : on grimpe à (ou dans) un arbre, on grimpe sur le toit, on grimpe sur un rocher, on grimpe sur les épaules de quelqu'un. "Grimper" peut donner une idée de rapidité, c'est-à-dire "monter en courant".