В вашем примере: - мне было грустно - во настоящее время человеку уже не грустно - мне стало грустно - человеку грустно сейчас, либо было грустно в какой-то момент в прошлом, в зависимости от контекста Например: Мне было грустно, когда я узнала о сметри твоей собаки. Но сейчас уже все в порядке. Мне стало грустно, когда я поняла, что не поступила в университет два года назад. / Мне стало грустно после просмотра этого фильма. Давай больше не будем смотреть грустных фильмов. Далее - мне холодно - человек замёрз и говорит об этом - мне становится холодно - человек еще не замёрз, но уже замерзает Например: Мне холодно, давай пойдем домой. Мне становится холодно, не могли бы вы выключить кондиционер.

Становиться – это процесс. Быть – это состояние

было, был, была- это прошедшее время. мне было грустно вчера, а сейчас я веселая. стать, становиться - это настоящее время. мне стало холодно( это значит, что в данный момент мне холодно, сейчас мне холодно)

to be and to become / it is cold and it becomes cold

мне было грустно - I was sad / мне стало грустно - I became sad for some moment, but I am not sad any more мне холодно - I was cold / мне становится холодно - It is becoming cold (referring on the weather) and the person is about to get freezing Overall: Становиться – it is a process . Быть – to be (for some period of time and that's it)