Despacho en ocasiones no se distingue, pero normalmente se refiere a una pequeña parte privada y separada de la oficina en un lugar del trabajo.

Para mí, mi despacho es el espacio (pequeño) en que trabajo. Mi despacho está en la oficina de X empresa, donde hay varios otros despachos. Ahora bien, he visto las dos palabras usarse indistintamente. También vale la pena mencionar que, según he observado, su empleo varía según el país...(Me baso en lo que he oído en España).

Normalmente es el mismo lugar, lo que cambia es que en un despacho se atienden clientes y en una oficina no necesariamente. Ejemplos: Si vas a un despacho de abogados te pueden dar información y asesoría legal. Un banquero puede trabajar en una oficina pero él no atiende clientes.