Заявление - более широкое понятие. 1) Официальное обращение с сообщением о нечто важном, значительном (в этом значении слово "заявление" никогда не спутаешь с "заявкой"). 2) Письменная просьба, направленная официальному лицу или организации. "Заявление" - это всегда официальный документ, тогда как "заявка" не всегда является документом ("устная заявка", "заявка на победу"). Заявка - это заявление с указанием на потребность в чём-либо, требование на получение чего-либо. (Например, заявка на получение расходных материалов). Кроме того, это и заявление о своих правах или о предоставлении прав на что-либо (например, заявка на участие в конкурсе). "Заявка" - более узкое понятие, она никак не связана с важностью или значительностью заявляемого предмета.

Мы пишем заявление, когда мы хотим получить, например, какую-нибудь справку, паспорт и т.п. Когда нанимаемся на работу или увольняемся с неё. Когда отдаем детей в школу или детсад и т.п. Заявка может быть, к примеру, на участие в спортивных соревнованиях, в каком-нибудь конкурсе Заявка может иметь значение "заказ" (концерт по заявкам, заявка отделу снабжения на офисные принадлежности и т.п.)

Заявление и заявка имеют общий корень. Вы публично просите о чем-то. Постараюсь разъяснить, в чем заключается практический смысл каждого из этих слов. Заявка - слово с ярким потребительским звучанием. Вы подаете заявку на что-то готовенькое, товар, услугу. Заявка не требует мотивировки. Например, заявка на установку телефона. Заявление подается в более сложных ситуациях, обычно в заявлении Вы объясняете обстоятельства, которые у Вас сложились и просите о принятии решения. Например, исковое заявление.