En mi opinión, la mejor traducción para "close friend" en singular, es "mi mejor amigo" o "un buen amigo", aunque como bien dicen más arriba también te entenderían si dices "un amigo cercano". Sin embargo, no es correcto decir "amigo estrecho".

Significa amigos cercanos, o amigos intimos

Sí, mejores amigos es muy utilizada!

Hay varias maneras de expresar eso en español. Pero la más utilizada es "mejores amigos" También podemos decir, "amigos del alma", "amigos íntimos", "amigos de toda la vida". Amigos estrechos y amigos cercanos no tienen mucho sentido en español aunque dependiendo del contexto te podrían entender.