Фестиваль проходит

Можно использовать оба слова, но контекст будет различным. В Москве проходит фестиваль дизайна. Фестиваль идёт весь день до позднего вечера.

Есть еще слово "проводится". Оно смещает акцент на организаторов (большинство фестивалей кто-то да организует... кроме традиционных). Этот фестиваль ...... каждые два года. "проводится" или "проходит". Этот фестиваль .... в последнюю неделю октября... проводится/проходит. В эти дни в Москве проходит фестиваль... "проводится" is more rare here. The reference to organizers becomes TOO obvious. Сегодня в Москве проходит фестиваль... (the frist phrase where 'идёт' wouldn't be weird. But it is colloquial - while the word 'фестиваль' provokes us to switch to newscasters language.) – Пошли через Красную площадь? – Ой, да ну нафиг. Там щас фестиваль ..... . Here you may insert идёт. But the word 'фестиваль' refers to a different thing: not the event as a whole, but the related activities: dnaces, concerts etc. While inserting "проходит" - you switch the focus back to the event as a whole (and щас now means 'these days', not this moment)

Я бы сказал и так и так можно сказать в ряде случаев, но в некоторых лучше выбрать один из двух глаголов. Например, в примере «Фестиваль проходит в Москве" лучше употребить «проходит", а, например, в «Фестиваль идёт уже третий день» лучше «идёт».