あぁ、なるほど。手伝ってくれて、ありがとうございました！

いやいや、日本語が凄く御上手だと思います^ ^両方とも意味は通じます。仮に対象が抜けていたとしても、多分「誰のために？」とか「誰にあげたの？」って聞かれると思うので、その後、あげる対象を言えば大丈夫です。

徹底的な説明をありがとうございました。分かったと思います。 ために - 対象に強調しています。 It's emphasizing the target or subject, and isn't as common. あげる - 友達や家族が使います。 Friends and family members use it, but it's not common with superiors. とにかく、対象を正さなければいけません。学校のみんな、学校の先生、学校の友達など。 下手な日本語ですいません。 ^_^

ために→ここで使われている“ために”は、より対象となるものを強調しています。友達!のために、息子!のために、この様なニュアンスになります。なので、日本人が話している時、圧迫感や押し付けがましいニュアンスなので、人に対して使われることは少ないと思います。 逆に物に対して使われる事が多いと思います。（例）勉強のために。試験のために。明日のために。物や出来事に使う分には、全く違和感無く使えます。 あげた→ こちらも少し押し付けがましいニュアンスもあります。友達同士や家族同士なら使いますが、目上の人や、あまり親しくない間柄の場合使わない方が無難です。後に続く意味合いは、自分が行動した事を指しています。 すいません、説明が難しいと思いますが、分からなければ、コメントください。あと、日本人の間でも意見が異なる場合があるので、日本人の皆様補足をお願いします。

結論から言うと、両方とも不正解になります。 私は学校にケーキを焼いてあげた。 →（例）私は学校のみんなにケーキを焼いて、持って行ってあげた。 “学校にあげた”は意味が分からなくなるので、学校の“みんな”“友達”生徒”先生”など、ケーキをあげた対象となる言葉を入れましょう。 私は学校のためにケーキを焼いた。 →（例）私は学校のみんなのために、ケーキを焼いた。 こちらも“学校のために”というと違和感があります。ケーキを焼いてあげた、“みんな”や“生徒”や“友達”など、焼いてあげた対象を書きましょう。