"TIRAR" nesse caso é um verbo utilizado de forma errônea porém muito comum no Brasil. Em uma conversa informal não há problema em utilizar o verbo para esta finalidade porém há outras formas verbais que podem ser utilizadas sem qualquer problema como: "dar entrada", "registrar", "obter", etc.

tirar um documento. significa: obter uma documentação necessária para algo(obtain documentation)

Hi Robert! In Brasil, the (informal) expression "tirar um documento" refers to the process of going to an agency responsible to issue a document and follow all steps needed to receive this document (request, proof of identity, payment etc.). The literal translation for "tirar um documento" would be "take a document". It's an informal expression really common in Brasil.

ir a algum órgão para fazer um documento. exemplo: preciso tirar meu passaporte com urgência./ preciso obter meu passaporte com urgência.

Muito obrigado Andre!