겪다 means "to undergo, suffer". it is used for bad experience.
경험하다 means "to experience". it is used for any kind of experience.
e.g.
방문객들은 그 곳에서 다양한 직업을 경험할 수 있습니다. (O)
방문객들은 그 곳에서 다양한 직업을 겪을 수 있습니다. (X)
Visitors can experience various jobs there.
새로운 문화를 경험하고 전통을 배울 수 있을 거야. (O)
새로운 문화를 겪고 전통을 배울 수 있을 거야. (X)
I will be able to experience new cultures and learn new traditions.
그는 엄청난 고난을 경험했다. (O)
그는 엄청난 고난을 겪었다. (O)
The iron entered into his soul.
겨울에는 10명 중 3명이 감기로부터 고통을 겪고 있습니다.(O)
겨울에는 10명 중 3명이 감기로부터 고통을 경험하고 있습니다.(O)
Three out of ten suffer from colds in the winter.