Tu primera oración es la correcta, porque típicamente se usa el infinitivo después de una preposición cuando no hay cambio de sujeto. También sería posible prescindir del verbo, para evitar la repetición: “Voy a ir al cine después de la biblioteca. Teóricamente, podrías usar un verbo conjugado en el subjuntivo, pero en tu ejemplo, sólo sería apropiado si quisieras cambiar de sujeto. “Vamos a ir al cine después de que mi amigo termine (o “haya terminado”) su tarea.”

"voy a ir al cine después de ir a la biblioteca" This is the correct! :)

Esto depende de cual es tu acción primaria (Lo que vas a hacer primero) 1.- voy a ir al cine despues de ir a la biblioteca [Esto yo lo entendería así ] Corrección --> Voy a ir al cine después de que vaya a la biblioteca [Quiere decir que primero tú vas a ir a la biblioteca y después al cine: La biblioteca es la prioridad] 2.- voy a ir al cine despues de voy a la biblioteca [Esto lo entiendo así] Corrección ----> Voy a ir al cine después voy a IR a la biblioteca. [Aquí la prioridad es el cine, por lo que esto significaría que primero vas a ir al cine y cuando termines prosigues a ir a la biblioteca] Saludos desde México

La primera de ellas, por cierto, después es con acento.

En primer lugar: xisten fallos en la escritura: Después