好きだ・嫌だ・得意だ・下手だ
上のように人の感情を表す言葉の前には、基本ルールとしては助詞は「が」を使います。
例:私は日本語が好きだ。
例2:私は数学が嫌いだ。
ご質問の、
>きみを好きだ
これは、「きみ」という「好き」の対象物(たいしょうぶつ=何が好きなのか?)を強調(きょうちょう)した言い方となります。
>彼女が漢字を好きな理由
これは元々は「彼女が漢字が好きな理由」という文ですが、「〜が〜が」と「が」が2回使われてしまいます。日本語ではこのような同じ言葉が重なることを避けます。ですから、「漢字を」「を」に変化したと考えられます。
>古典を得意だ
これも本来は「わたしは古典が得意だ」が元の文だと思われます。
言葉の「ゆれ」(variation)として、「古典を」でも日本人は使うことがあります。
ですが「古典を得意だ」この文だけを見ると、不自然に感じられます。
結論として、基本文法としては、
好きだ・嫌いだ・得意だ・苦手だ・・・などの感情的な言葉の前には助詞は「が」を使う。
また、他にも
例:私は日本語会話ができる。
「できる」という「能力の可能」を表す言葉の前にも「が」を使います。
日本人が時々、「英語をできる」「英語を好きです」など、「を」を使うのは、「ことばのゆれ」としてとらえるほうがいいと思います。
(外国人で日本語学習者は、感情・可能を表すことばの前には、助詞「が」を使うように覚えたほうがいいと思います)