As far as I can see, there are two differences.
1) "Essere toccato" is only marginally used in spoken Italian, while "essere commosso" is common.
2) "Essere toccato" describes both the change in the emotional condition and the condition of "being moved". On the contrary, "essere commosso" only refers to the condition, while the corresponding change in the emotional condition is described by the verbs 'commuoversi' and 'commuovere' (the latter also describes the condition – see examples below).
This difference determines which tenses you can use with each of these elements.
Examples
change 1 ('toccare') -> "La sua confessione mi ha toccata".
change 2a ('commuovere') -> "La sua confessione mi ha commossa".
change 2b ('commuoversi') -> "Quando mi ha confessato la cosa, mi sono commossa".
condition 1 ('toccare') -> "Era toccata dal fatto che Marco si fosse confidato proprio con lei".
condition 2a ('commuovere') -> "Il fatto che Marco si fosse confidato proprio con lei la commuoveva".
condition 2b ("essere commosso") -> "Era commossa dal fatto che Marco si fosse confidato proprio con lei".