질문하신 '말았어요' 의 원형은 '말다' 입니다. '싫증이 나고 말았어요' 는 [-고(야) 말다] 의 구성으로, 앞말이 결국 일어났다는 뜻으로 일이 일어남에 대한 아쉬운 느낌이 있을때 사용합니다. In this sentence, '말다' is the helper verb of '싫증나다'. It means 'the situation(싫증) happened eventually'. ex) 부모님은 남동생이 고향에 머물기를 바라셨지만, 남동생은 결국 떠나고 말았어요 / 긴장하는 바람에 실수를 저지르고 말았어요. / 다이어트 중인데 오늘도 피자 한 판을 혼자 다 먹고 말았어요 이해가 되셨나요?

Hi "말았어요" means finally. "하지만 아기 놀이도 금방 싫증이 나고 말았어요.=But Finally, the baby was tired of the playing baby. thank you.