"Я тоже" is used in nominative case. E.g. "Я люблю яблоки" -- "Я тоже" (I like apples -- I like them too)
"Мне тоже" is in dative case. "Он прислал мне сообщение" -- "Мне тоже" ("He has sent me a message" -- "me too").
Other cases:
Genitive -- "Меня не было на собрании" (I was not present at the meeting) -- "меня тоже"
Accusative -- "Руководитель похвалил меня" (The boss has complimented me) -- "меня тоже" (it coincides with Genitive for this kind of words)
Instrumental -- "Родители гордятся мной" (My parents are proud of me) -- "мной тоже"
Prepositional -- "Мама заботится обо мне" (My mum cares about me)-- "обо мне тоже"