2 行方 は 他の2つと比べると、目的地が「不確か」な、「おぼろげ」なニュアンスを持っています。
(例)
行方不明の父を探しています。写真に似ている背の高い男性を見かけたら、この電話番号に連絡をください。○○○-1111-2222
(例2)
父が行方をくらましてから、もう10年が経つ。
例文1、2とも、「行き先」や「行く手」を代わりに使うことはできません。
1 行く手 と 3 行く先 の違いは、ちょっと良く分かりません。ごめんなさい。
問題の文においては、私は1の方が自然に感じました。
行く先 には幾多の困難があるから気がかりだ。
行く手 には幾多の困難があるから気がかりだ。←こっちの方が好きです。
まあどちらでも、多くの日本人にとっては気にならないと思います。