ОБЪЯСНИТЬ - сказать более понятно, более детально.
Например: студент не понял, что сказал профессор и просит объяснить ещё раз, рассказать подробно, возможно другими словами.
- Я не понимаю, объясните ещё раз.
- Он не понял, что случилось. Я попробую ему объяснить.
ВЫЯСНИТЬ - узнать, понять в чём дело, разобраться в ситуации
Например:
- Они странно смотрят друг на друг. Нужно выяснить, что между ними происходит
- Мари обиделась на меня, но я не знаю почему. Я должен это выяснить
- Мы не знаем откуда они приехали, но хотим выяснить