Devagar é um adverbio de modo :"O homem caminha devagar."
A palavra devagar indica o modo, a circunstância do caminhar desse homem.
vagarosamente - morosamente - sem pressa - lentamente são sinônimos.
Pelo fato do Brasil ser um pais muito grande e cada região ter seus modismo o carioca(nascido no Rio de Janeiro ) usa mais a palavra devagar do que lentamente.Mais ambas significam a mesma coisa e podem ser usadas em qualquer frase informal ou não.