Primeramente, sería 'voy a la cama'. Esto es debido a que la conjugación verbal lleva intrínsecamente el sujeto. Respondiendo la pregunta, ambos tienen el mismo significado, o se entenderían de igual forma: vas a ir a dormir. No sé si tengas una duda en específico respecto al uso, pero puedes usar ambos sin distinción alguna. Cualquier duda, házmelo saber.

Normalmente en el español no usamos el sujeto como YO en estos casos. Utilizamos el ME (reflexivo): "Me voy a dormir", "Me voy a la cama". Tal como te contestó Alfredo, ir a la cama puede ser para ir a leer o a mirar TV DESDE la cama, pero ir a dormir es exactamente DORMIR.

Me voy a la cama y me voy a dormir significan lo mismo , pero a lo mejor la diferencia es que "Me voy a dormir" es cuando realmente vas a dormir, y "me voy a la cama" es solo que vas a estar en tu cama , sin dormir.