Answer: We can say both, but they usually say "Is it 'yeoldu si(twelve o'clock)?'" 둘 다 쓸 수 있어요. 사실은 세 개죠. We can say both of them. In fact, there's three. 한국에서 자정을 의미하는 말은 '자정(jajeong)', '열두 시(yeoldu si)', '이십사 시(isipsa si)'가 있어요. There's three words meaning 'midnight': '자정(midnight)', '열두 시(twelve o'clock)', and '이십사 시(twenty-four o'clock)'. '자정'은 'midnight'와 대응되는 단어인데요, 일반적인 단어지만 다음 것에 비해선 잘 쓰지 않아요. '자정' corresponds to 'midnight'. It is typical, but not used as frequently as the next one. (그리고 Jake님이 말씀하신 대로 'noon'은 '정오'입니다.) (And, as Jake says, 'noon' = '정오') '열두 시'는 '12시'라는 뜻이에요. '열두(yeoldu)'는 '12', '시(si)'는 '시간'을 뜻하죠. 가장 자주 쓰이는 말인데, 오전과 오후를 구분하지 않아 불편하기도 합니다. '열두 시' means '12 o'clock' '열두' is '12' and '시' is 'hour / o'clock'. It's informal. 'Korean speakers mostly use this term, but it's sometimes inconvenient that they don't usually classify AM and PM. '이십사 시'는 '24시'라는 뜻이지만, 문자로 표기하면 '2400'에 가까워요. 아주 격식적이고 정확한 단어라서 사무나 군사 업무에나 쓰이죠. 일상적인 어휘는 아닙니다. '이십사 시' is '24 o'clock', but in fact it's similar to '2400'. Very formal and precise term that used in desk works and the military. So it's not an informal word.

midnight : 자정, 밤 열두시, 한밤중 24 hours : 이십 사 시

noon = 정오 midnight = 자정; 밤 12(열두)시; 0(영)시