가 in 싶지가 않아 is auxiliary particle(보조사) 가 : 앞말을 지정하여 강조하는 뜻을 나타내는 보조사. 연결 어미 ‘-지’ 뒤에 오는 ‘가’는 ‘를’이나 ‘ㄹ’로 바뀔 수 있으며, 흔히 뒤에는 부정적인 표현이 온다. 난 널 보고 싶지가 않아 = 난 널 보고 싶지를 않아 It is an emphasizing expression of 난 널 보고 싶지 않아