These words cannot be antonyms since they belong to two different categories of verbs. "Depender" expresses a state or condition, "independizar" expresses a transition from one state to a different one. Depender de = to depend on. Mi hermano depende de mi = My brother depends on me. La decisión depende de la información = The decision depends on the information. Independizarse de = To become independent. Ucrania se independizó de la Unión Soviética = Ukraine became independent from the Soviet Union. Los hijos se independizar al salir de casa = Children become independent when they leave home. The opposite of "depender" would be "ser autónomo" ("to depend on someone" versus "to be self sufficient"), the opposite of "independizar" would be "volverse dependiente" ("to become independent" versus "to become dependent"). Esta universidad dependía del estado, pero ahora es autónoma = This university depended on the state, but now it is autonomous. Mi hermano se ha vuelto dependiende de las drogas = Mi brother has become dependent on drugs. I hope this helps.

Para que sean antónimas/os estas palabras se escribiría así: dependiente/independiente, no tiene mucho sentido (no suena muy bien) la palabra "dependizar", pero se entiende lo que quieres decir. En todo caso dependería mucho de tu contexto en el cual uses estas palabras