You can't use "каковым" without adding a verb. There are 4 possible versions with the same meaning. Вижу мир не таким, КАКОВ он на самом деле, а таким, каким мне хочется его видеть. Вижу мир не таким, КАКОЙ он на самом деле, а таким, каким мне хочется его видеть. Вижу мир не таким, КАКИМ он на самом деле ЯВЛЯЕТСЯ, а таким, каким мне хочется его видеть. Вижу мир не таким, КАКОВЫМ он на самом деле ЯВЛЯЕТСЯ, а таким, каким мне хочется его видеть.

В данном случае "каков" это союзное слово или, проще говоря, союз (conjunction), присоединяющий придаточное предложение. В роли союзного слова "каков" изменяется только по родам и числам, но не по падежам. Подробнее можно почитать здесь: http://rusgram.narod.ru/1669-1688.html

Ici il faut ecrire "каков".

спасибо, это мне полезно чтобы избегать от похожих вопросов в будущее.

I agree with BOTH Ksenia's and Denis' analyzis (mostly at least) Я встретил того, кто носит шляпу. Я встретил того, кому дал шляпу. Я встретил того, кого видел вчера в шляпе. Я встретил того, кем горжусь. Я встретил того, о ком думаю. Now with какой: Быть таким, какой ты есть. Стать таким, каким ты хотел бы быть. The case form is defined solely by the word's role un the second clause! It doesn't agrees with такой, doesn't serve as a means to extablish connection with 'такой'. The connection between такой / какой is semantical:) In you clause: ....таким, каков он [ЕСТЬ] на самом деле. The [omitted] verb is 'IS'. Он [есть] таков/такой. You actually may remove brackets and say this 'есть'. "IS' needs nominative;-)