"другой" = another one, when chosing between the two "разный" = different one, in colour or quality, and means there's many different objects, more than two.

Just some examples: 1) X носит красную шляпу. Y носит зеленую шляпу. Они носят разные шляпы ("другие" would be incorrect). X wears a red hat. Y wears a green hat. They wear different hats. 2) X носит красную шляпу. Y носит другую шляпу, его шляпа - зелёная. ("разная" would be incorrect). X wears a red hat. Y wears a different hat, his hat is green. 3) What do they sell? - They sell different bags, suitcases, wallets and the like. Они продают разные сумки и т.д. (=всякие, any kind of bags). 4) They sell different bags, you may like them better. Они продают другие сумки (=не такие как в других магазинах, difference in the quality is emphasised).

Другой - не этот конкретный предмет. Разный - отличается чем-либо от этого конкретного предмета. It's like "other" and "different".

the main usages are: РАЗНЫЙ - different within a group. usually used in plural. У Марии и Олега разные взгляды. Maria and Oleg have different opinions. Какую икру продают на этом рынке? Разную. What kind of caviar do they sell at this market? Different kinds. икра - is uncountable here. ДРУГОЙ means "different" as opposed to something/someone mentioned explicitly or implicitly before. Олег смотрит на машину и спрашивает Ольгу: "Это машина Дмитрия?" Ольга: "Нет, у Дмитрия другая машина". Is this Dmitri's car? No, he has a different car. АНТОНИМЫ: разные -- одинаковые этот/такой/такой же -- другой

In addition, if you talk about a person, "different" means "другой". He is different (Он другой/ не такой).