Я сделал совершил* ошибку.

Я попросил у начальника свободный день, и у меня он будет в понедельник! Я поеду к семье в свой родной город.

Однако, я забыл о том, что несколько дней назад я согласился сделать взять интервью с клиентом в этом день. К счастью, мы будем говорить это можно сделать по телефону, и я смогу поехать к семье.

Хотя моя работа будет сделана, мне жаль, что мне придётся работать в свободный день из-за небрежной ошибки(

* Можно еще сказать - допустил. "Сделал" тоже можно, но так звучит лучше.

Я сделал (also, you may say "совершил" instead of "сделал" as well, it's just like an option) ошибку

Я попросил начальника ДАТЬ МНЕ (you forgot to use a verb here with personal pronoun) свободный день (we use word "выходной" instead of "свободный день" cause this one is shorter), и у меня будет в понедельник У МЕНЯ БУДЕТ ВЫХОДНОЙ (свободный день)! Я поеду к СВОЕЙ (you should say that it's YOUR family) семье в моем родном городе.

Однако, я забыл о том, что несколько дней назад я согласилСЯ (here is should be an ending cause it's past tense) сделать (you may say "провести" as well) интервью с клиентом в этоT (этот день) день. К счастью, мы будем говорить по телефону, и я могу поехать к семье. YOU ARE AWESOME MAN! ALMOST NO SERIOUS MISTAKES HERE. This paragraph is really good! I'm so proud of you!

Хотя моя работа будет сделана, мне жаль, что мне придётся работать в свободным("й" cause this word answer the question -какоЙ? and it has the same ending) день (выходной this one is shorter))) из-за небрежной ошибки(

Good job mate, you are really good, keep pushing!)
Hope, my english wasn't too bad)

Я сделал ошибку

Я попросил начальнику свободный день, и у меня будет в понедельник! Я поеду к семье в моем родном городе.

Я попросил у начальника отгул/выходной, и это будет понедельник! Я поеду к семье в свой родной город.

Однако, я забыл о том, что несколько дней назад я согласил сделать интервью с клиентом в этом день. К счастью, мы будем говорить по телефону, и я могу поехать к семье.

Однако, я забыл о том, что несколько дней назад я договорился поговорить с клиентом именно в этот день. К счастью, мы будем говорить по телефону, и я могу поехать к семье.

Хотя моя работа будет сделана, мне жаль, что мне придётся работать в свободнымй день из-за небрежной ошибки(

Хотя моя работа будет сделана, мне жаль, что придётся работать в свободный день из-за  досадной ошибки(

Я сделал ошибку

Я попросил у начальника выходной день в понедельник! Я собираюсь поехать к моей семье в свой родной город.

Однако, я забыл о том, что несколько дней назад я согласился созвониться с клиентом в этот день. К счастью, мы будем говорить по телефону, и я все-таки смогу поехать к семье.

Хотя моя работа будет сделана, мне жаль, что придётся работать в выходной день из-за собственной небрежной ошибки(

Я попросил у начальника свободный день, и у меня он будет в понедельник! Я поеду к семье в мой родной город. Однако, я забыл о том, что несколько дней назад я согласился дать интервью клиенту в этот день. К счастью, мы будем говорить по телефону, и я могу поехать к семье. Хоть моя работа будет сделана, мне жаль, что мне придётся работать в свободный день из-за небрежной ошибки(