En este caso, vendría a reemplazar a un "no obstante", "sin embargo", "pero". No queda bien escrito con un "eso sí", porque cambia completamente de dirección.

Es solamente un puente

La expresión "eso sí" sería equivalente a decir "aunque" ("although" en inglés). "...Si bien ambos territorios mantuvieron sus leyes e instituciones propias, aunque bajo el mandato del mismo monarca..." (Reemplacé el primer "aunque" para que la frase no sonara redundante). Saludos!

es una condición o señala algo, quiere decir; cada territorio aunque mantuvieron sus leyes e instituciones por separado, estaban regidos o "gobernados" por el mismo monarca