Ahoi ani, il significato è in genere lo stesso. Rimanere è in genere meno comune che restare, ma ci sono contesti e locuzioni in cui si usa più spesso di restare. E anche più usato di restare quando si usa come verbo copulativo e il predicato è un participio passato (ess.: sono rimasto sorpreso dalla loro cortesia). Per una spiegazione più minuziosa, puoi consultare: http://www.treccani.it/vocabolario/rimanere/