En ambos países se dice "comida para llevar".
Te preguntarán "para llevar o para comer aquí?" y entonces dices "para llevar, por favor".
Y si estás en un restaurante y quieres llevarte las sobras dices: "me lo puedes poner para llevar, por favor?" o "me lo pones para llevar, por favor?" indicando a tu plato.
En España puedes hablarle de tú al camarero (mesero en México) pero en México sería mejor que le hablarás de Usted, al menos que sea muy joven, entonces le puedes hablar de tú.