Hola!! La verdad no tiene mucha diferencia, ambas significan lo mismo que es permanecer en un lugar, o alojarse en un lugar, por supuesto el verbo es estar. La única diferencia notable que yo te puedo decir que hay entre ambas palabras es el país donde se usa, pero lo común es estadía. Aunque en el español un poco antiguo estancia hace referencia a una habitación o sala de estar, que es para lo que la palabra estancia normalmente se utiliza. Espero te sirva.

Estadía y estancia son sinónimos, ambas hacen referencia al tiempo que se permanece en algún lugar, pero la diferencia es que "Estancia" también es un lugar físico como una mansión, un aposento, una habitación, una sala o un cuarto. Incluso puedes usar ambas palabras en una oración, por ejemplo: Mi estadía fue muy grata en tu estancia.