Разницы на самом деле практически нет, но, как мне кажется, "в течение" звучит лучше в большинстве случаев. Хороший вопрос.

Это одно и то же. Предлог «в продолжение» пишется в два слова и с буквой «е» в конце. Он синонимичен производному предлогу «в течение».

1. Если мы хотим указать на время (длительность или одновременность), чаще всего оба предлога взаимозаменяемы без потери смысла. Различие очень тонкое, и основано на происхождении предлогов. (1) X происходит в течение Y == пока Y течет (как время), также происходит X”. Слово “течение” напоминает “течение времени”, “непрерывный поток”. Потому “в течение” ближе к вопросу “как долго” (длительность): — Как долго длилось X? — В течение Y. Так же долго, как длилось Y. Все то время, как было Y. (2) X происходит в продолжение Y == “пока Y продолжается (как событие) - также происходит X”. Слово “продолжение” напоминает , что некое событие продолжается, не окончено. Потому “в продолжение” ближе к вопросу “когда” (одновременность): — Когда происходило X? — В продолжение Y. Тогда, в то время, когда происходило Y. Сравните: 1) — Как долго ты был в фойе? — В течение антракта. (Я был в фойе так же долго, как длился антракт.) 2) — Когда ты выходил в фойе? — В продолжение антракта. (Я вышел, когда был антракт, но сколько я там пробыл - я не говорю). Также будет правильно ответить на оба вопроса “в течение антракта”. Если нужно акцентировать длительность, непрерывность действия или ее отсутствие, можно использовать дополнительные слова, например: — Как долго ты был в фойе? — В течение (всего) антракта. — Когда ты выходил в фойе? — В течение антракта, ненадолго. — В течение антракта, дважды. … или можно ориентироваться на контекст, например: — Я был в отпуске в Италии в течение прошлого лета. (Отпуск обычно гораздо короче, чем лето, потому из контекста понятно, что речь идет не о "как долго", а о “когда”). Можно также на оба вопроса ответить, используя “в продолжение”, в речи оно используется реже. 2. “В продолжение” также имеет второй смысл: “в качестве продолжения чего-то” “В продолжение этой темы я хотела бы сказать…” = Мы о чем-то говорили, и я хочу продолжить тему; не меняя тему разговора, я хочу что-то сказать, добавить к разговору.

Нет разницы