Die Wörter sind in ihren Grundbedeutungen relativ Synonym, es gibt aber Bedeutungsunterschiede.
produzieren:
beim produzieren ist ein beabsichtigtes, geplantes Schaffen eines Produktes gemeint. Es muss sich nicht umbedingt um industrielles produzieren handeln. Man kann auch Texte, Handarbeiten oder Essen produzieren. Immer geht es aber um das vorsätzliche Herstellen eines Produktes, das von jemandem weiter genutzt werden kann.
erzeugen:
erzeugen ist ursprünglich eher ein mit der Biologie in Verbindung stehendes Wort (siehe das Wortfeld: Zeugung, Erzeuger (abfällig für Vater)). Im Alltagssprachgebrauch wird es oft Synonym mit "produzieren" verwendet. z.B. Stahlerzeugniss (Stahlprodukte). Sehr oft wird erzeugen in Verbindung mit abstrakten Begriffen benutzt, wobei ein naturgesetzlicher Aspekt zum Ausdruck gebracht wird. z.B. Unwissenheit erzeugt Furcht, Furcht erzeugt Hass, Hass erzeugt Gewalt, Gewalt erzeugt Leid etc.
hervorbringen:
diesem Wort fehlt streng genommen der Aspekt der Intention. Es heißt z.B. die Epoche XY bracht einige der bedeutensten Künstler der Geschichte hervor. oder: dieses Land bringt köstliches Gemüse hervor.
Beim "hervorbringen" ist also in der Regel kein konkreter Mensch der Agens. Vielmehr bezeichnet "hervorbringen" ein fast unintentionales Resultat eines Landes, einer Epoche, einer Kunstströmung etc.