Изъян - это неисправность либо повреждение. Недостаток - это нехватка кого-либо/чего-либо в нужном количестве.

Если говорят про человека, что у него есть недостаток, то это лучше чем если бы сказали, что у него есть изъян. В этом случае разница есть. Изъян - серьёзный недостаток.

Синонимы

Почти нет разницы. "Изъян" более литературное слово и больше относится к внешним признакам. "Недостаток" - более простое слово, более распространённое, более современное, и может быть применено не только в внешним признакам. Чаще всего если хотят указать на функциональность, употребляют слово "недостаток", о функциональности нельзя сказать "изъян".