Je dirai que couper est le fait de séparer quelque chose à l'aide d'un objet tranchant. Découper renvoie aussi à la rupture mais on le fait avec davantage de précision et d'adresse en obtenant plusieurs petits morceaux au final.

Découper : on découpe le papier avec des ciseaux et la viande avec un couteau en plusieurs morceaux. Couper : on coupe les cheveux, un fil, une branche d'arbre, le gazon, le courant (électricité), etc. On peut dire aussi "je me suis coupé(e)". Couper = une seule fois ou un seul morceau.