Hola Yvette :) No existe una regla gramatical que indique que se deba poner "de" precisamente luego de contar. Aquí "de" se usa como preposición que indica el asunto qué te van a contar. Así mismo, puedes decir: "Espero que me hables de tus impresiones sobre el país y me cuentes tu nueva experiencia" Espero haber ayudado :)

No creo que esté bien pero... es muy utilizado... La frase correcta sería "Espero que me hables de tus impresiones sobre el país y me cuentes tu nueva experiencia", el "de" tiene un significado como "sobre (hablar de la experiencia, about the experience)" se utiliza para enfatizar, remarcar, indicar, que se quiere una conversación sobre dicho tema, aunque no creo que sea necesario utilizarlo...

Y también es importante mencionar que muchas veces la preposición cambia el significado del verbo, por ejemplo: Contar de: - Platicar una historia que te sucedió. "Cuéntame de cuando fuiste a México!" Contar con: - Tener el apoyo de alguien. "Si necesitas ayuda cuenta conmigo!" Contar (sin preposición): - Contar algo con números. "Cuenta cuántas personas vinieron" - Platicar un chiste, un cuento, una historia "Cuéntame un chiste / un cuento / una historia."