Gratuito é adjetivo e deve ser usado com o verbo "ser" ou substantivos. Exemplo: - a entrada é gratuita; - o estacionamento é gratuito; - oferecemos transporte gratuito entre aeroportos. Grátis é advérbio e pode ser substituído por gratuitamente. Exemplo: - registre grátis (gratuitamente) seus dados. Grátis=de graça pode usá-los com o mesmo sentido.

Essas palavras "de graça", " grátis" ou "gratuito" referem-se a algo que seja dado sem exigir algo em troca. Exemplos: venha ver um filme, pipoca grátis; O serviço prestado por eles é gratuito; a entrada no parque é de graça.

Acho que com exemplos pode ser mais fácil entender a diferença. Por isso: Hoje em dia, ninguém dá nada a ninguém de graça. As primeiras aulas são grátis/gratuitas. Leva este livro, é gratuito/grátis. Podes levá-lo de graça/gratuitamente.