Eher selten mit dem Artikel, sondern meistens mit dem Possessivpronomen, also in deinem Satz: Ich schenke meinem Vater ein Buch. Auf keinen Fall: dem Vater. Wenn man mit anderen Familienmitgliedern spricht, auch: Ich schenke Vater ein Buch. Dann wird 'Vater' wie ein Eigenname verwendet. Aber das geht nicht mit anderen Leuten. Den Artikel benutzt man nur bei Beschreibungen/Erzählungen, z.B. Auf dem Foto ist eine Familie. Der Vater steht hinter dem Großvater etc. Hoffe, das hilft.

Ich habe einen Enkel. <- richtig. Unbestimmte Form mit Artikel. Ich habe Enkel <- Würde man als den Plural verstehen! Ich habe (mehrere) Enkel. Er ist schon Onkel. <- hier wäre es üblich, den Artikel wegzulassen. Er will Papa werden. Ich habe Kinder. Ich habe Frau und Kinder. Ich habe Familie / Ich habe eine Familie. <- beides üblich

Ja, gerade gegenüber Kindern wird oft so gesprochen: "Geh' mal zu der Oma." Aber auch sonst brauchst Du schon die Artikel: "Er ist der Bruder von Marie." (nicht: er ist Bruder von Marie). Ist es das, was Du wissen wolltest?